On mean discounted numbers of passage times in small balls of Itô processes observed at discrete times

The aim of this note is to prove estimates on mean values of the number of times that Itô processes observed at discrete times visit small balls in R. Our technique, in the infinite horizon case, is inspired by Krylov’s arguments in [2, Chap.2]. In the finite horizon case, motivated by an application in stochastic numerics, we discount the number of visits by a locally exploding coefficient, and our proof involves accurate properties of last passage times at 0 of one dimensional semimartingales. Key-words: last passage times,Itô processes observed at discrete times ∗ CETE de Lyon, Laboratoire Régional des Ponts et Chaussées, Clermont-Ferrand, France; [email protected] † INRIA Sophia Antipolis, EPI TOSCA; [email protected] ‡ Université Paris-Est Marne-la-Vallée, France; [email protected] § INRIA Sophia Antipolis, EPI TOSCA; [email protected] in ria -0 03 47 61 0, v er si on 3 9 M ay 2 00 9 Sur les espérances de temps de passage pondérés dans des petites boules pour des processus d’Itô observés en temps discret Résumé : L’objectif de cette note est de démontrer des estimations sur le nombre moyen de visites dans des petites boules de R d’un processus d’Itô, observé à des instants discrets. En horizon de temps infini, notre technique est inspiré des arguments de Krylov dans [2, Chap.2]. En horizon de temps fini, motivé par une application en analyse numérique stochastique, nous pondérons le nombre de visites par un coefficient localement explosif; notre preuve utilise des propriétés fines sur le dernier temps de passage en zéro d’une semimartingale unidimensionnelle. Mots-clés : dernier temps de passage, processus d’Itô observé à temps discret in ria -0 03 47 61 0, v er si on 3 9 M ay 2 00 9 On mean discounted numbers of passage times in small balls 3